قضیه ی نیمساز زاویه

قضیه ای در

هندسه می باشد که به صورت زیر تعریف می شود:

در هر مثلث، نیمساز هر زاویه داخلی، ضلع مقابل خود را به نسبت اضلاع خود قسمت می کند.

در مثلث شکل مقابل AD نیمساز زاویه ی داخلی A می باشد. در نتیجه نسبت زیر بر قرار است.

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}$

اثبات:

مثلث ABC مطابق شکل مفروض است. از راس C خطی به موازات AE رسم می کنیم تا امتداد AB را در D قطع کند. بنابر قضیه ی

خط مورب دو خط موازی داریم:

A₁=C₁

همچنین D₁ نیز با A₂ برابر است. بنابر

قضیه ی زاویه های متقابل‌به‌رأس داریم:

D₁=A₂

از طرفی چون طبق فرض A₁ و A₂ برابرند (بعلت اینکه AE نیم ساز داخلی A در مثلث ABC است) پس داریم:

C₁=D₁

پس بنابر ویژگی های

مثلث متساوی‌الساقین می توان نتیجه گرفت که ADC یک مثلث متساوی‌الساقین است. پس داریم: $AD=AC$ حال در مثلث BCD که دو ضلع AE و DC موازی هستند، بنابر

قضیه تالس می توانیم بنویسیم:

${\frac {|BA|}{|AD|}}={\frac {|BE|}{|EC|}}$

حال چون نتیجه گرفتیم که $AD=AC$ پس می توانیم بنویسیم:

${\frac {|BA|}{|AC|}}={\frac {|BE|}{|EC|}}$

که با این کار به حکم قضیه می رسیم و قضیه اثبات می شود.

جهت مشاهده منبع اصلی و ادامه این مطلب این مطلب کلیک کنید
کلمات کلیدی منبع: {frac ,قضیه ,مثلث ,زاویه ,نیمساز ,نتیجه ,{displaystyle {frac ,{frac {|be|}{|ec|}}} ,بنویسیم {displaystyle ,توانیم بنویسیم ,نیمساز زاویه ,بنویسیم {displaystyle {frac ,توانیم بنویسیم
در صورتی که این صفحه دارای محتوای مجرمانه است یا درخواست حذف آن را دارید لطفا گزارش دهید.